Z końcem 2018 roku można zdecydowanie stwierdzić, iż metoda elementów skończonych i wykorzystujące ją aplikacje komercyjne są już bardzo rozpowszechnione, dojrzałe i z powodzeniem zweryfikowane w zastosowaniach przemysłowych. Niemniej jednak na pewnych polach wciąż sprawiają kłopoty. Nadal, w opinii użytkowników największą bolączką metody MES, a w zasadzie prac przygotowawczych do analizy, jest przekształcanie modelu CAD w dyskretny model analizy elementów skończonych. Tym bardziej, iż w obecnym świecie inżynierskim wszystko wykonywane musi być szybciej, elementów złożeń jest więcej i są często nieprzeciętnie skomplikowane.
Piotr Harnartkiewicz, Bartosz Ojdana, Piotr Stępień
Z pomocą na rynek wkraczają technologie tzw. bezsiatkowe. Terminologia „bez siatki” w mechanice obliczeniowej jest znana od lat i związana jest z licznymi badaniami prowadzonymi w światowych jednostkach naukowych. Celem prowadzonych badań jest pomoc inżynierom w przekraczaniu granic związanych z klasycznymi metodami obliczeniowymi. Niektóre metody bezsiatkowe są ukierunkowane na obsługę ekstremalnych nieliniowości, inne są definiowane w taki sposób, by były gotowe do modelowania wielko – i wielo-skalowego. Wśród tych metod ciągu ostatnich trzech lat bardzo rozwinęła się koncepcja rynkowo zwana „meshfree”, czyli wolna od kroku dyskretyzacji.
Metoda elementów skończonych
Koncepcja metody elementów skończonych zakłada, że takie wielkości jak przemieszczenie
i naprężenie opisuje się za pomocą ciągłej funkcji (pierwotnej) w danym obszarze (fragmencie ciągłym modelu fizycznego) i aproksymuje się modelem dyskretnym. Model dyskretny składa się ze zbiorów funkcji ciągłych określonych w skończonej liczbie podobszarów. Obszary te, to elementy skończone.
Rys. 1 Metoda elementów skończonych w pigułce
W celu otrzymania modelu dyskretnego należy w ciągłym fragmencie analizowanego modelu fizycznego wyróżnić skończoną liczbę węzłów, określić w węzłach wielkości fizyczne, których wartości się aproksymuje. Należy również podzielić rozpatrywany obszar na skończoną liczbę elementów, które łączą się we wspólnych węzłach, a ich zbiór musi pokrywać cały obszar. Ostatnim krokiem jest aproksymacja wielkości fizycznych w każdym elemencie za pomocą funkcji aproksymujących tj. wielomiany, szeregi lub ciągi, przez wielkości węzłowe (Rys. 1).
Rozwiązanie problemu metodą elementów skończonych prowadzi do transformacji równania całkowego do postaci (układu) macierzy równań liniowych. W otrzymanym układzie równań liniowych zdecydowana większość wartości to zera. Model w postaci równania całkowego i definicji przestrzeni funkcji aproksymujących jest równoważny modelowi w postaci sposobu konstrukcji układu równań liniowych MES. Dzięki tej własności metoda MES nadaje się do tworzenia algorytmów numerycznych i jest najczęściej stosowaną metodą wykorzystywaną przy implementacji do programów komputerowych1.
Pre-processing – etap przygotowania modelu obliczeniowego
W pracy inżyniera obliczeniowca cel zawsze jest jeden i ten sam: dokładny wynik obliczeń numerycznych w celu zidentyfikowania poziomu naprężeń, odkształceń, gradientów temperatury, wartości częstotliwości lub trwałości. Spójna siatka elementów odpowiednio rozmieszczonych (zagęszczonych) na rozpatrywanym obiekcie analizy, znacząco sprzyja uzyskaniu zbieżności rozwiązania, a dobrze przygotowana geometria jest fundamentem dla przyszłego modelu obliczeniowego, składającego się z wybranego typu elementów skończonych.
Rys. 2 Ideowy schemat pracy inżyniera analityka w procesie obliczeń obiektu
Na rysunku 2 przedstawiono schemat procesu towarzyszącego inżynierowi w trakcie przygotowywania analizy numerycznej z wykorzystaniem klasycznych technik opartych o MES.
Doświadczeni inżynierowie wiedzą, iż najbardziej czasochłonnym etapem prac jest etap idealizacji modelu i dyskretyzacji (Rys. 3). Przykładowe kroki (nie wszystkie) dla przygotowania/idealizacji geometrii to:
- Proporcje i rozmiar gabarytowy obiektu; pojedyncza część, czy złożenie.
- Wybór odpowiedniego typu lub typów elementów skończonych.
- Określenie liczby i eliminacja zbędnych detali geometrycznych, konstrukcyjnych, wykonawczych.
- Sprawdzenie geometrii: małe krawędzie, małe powierzchnie (skala mikro); wolne krawędzie.
- Naprawa geometrii: „zszywanie” krawędzi, powierzchni.
- Edycja geometrii: projekcje krzywych i punktów; wydobywanie „składowych topologicznych”.
- Wykorzystanie operacji logicznych Boole’a.
- Inne: konwersja danych geometrycznych z innych programów.
Rys. 3 Idealizacja obiektu bryłowego
W konsekwencji zwiększenia znaczenia pre-processingu, w obecnych czasach proces obliczeniowy przeniósł swój środek ciężkości na prace niezwiązane z analizą inżynierską problemu, kierując się w stronę pracy nad idealizacją projektu.
Aktualnie należy postawić sobie pytanie, czy obrana droga rozwoju metod obliczeniowych jest prawidłowa? Z jednej strony, doszliśmy niemal do doskonałości w procesie przygotowania symulacji MES, z drugiej strony, czas i koszty tego etapu są tak duże, że często nie spełniają aktualnych standardów okresu rozwoju produktu. Być może istnieją alternatywne rozwiązania, ale gdzie ich należy szukać?
Problem ten dotyczy nie tylko symulacji wykonywanych na zlecenie, ale również prac, w których symulacje wykonywane są dla działów wewnętrznych firm. Rozwiązaniem tego problemy wydają się być właśnie metody bezsiatkowe.
Finite Cell Method
Finite Cell Method (FCM) jest metodą wykorzystującą „efekt zanurzenia” geometrii badanego obiektu wśród komórek skończonych, zdefiniowanych jako przestrzenna siatka kartezjańska. Dlatego też metoda ta z założenia nie uwzględnia złożoności geometrii, dzięki zupełnie innemu podejściu niż MES do problemu ozwiązywania złożonych zagadnień inżynierskich2.
Metoda FCM została pierwszy raz zaimplementowana do prowadzenia analiz bardzo skomplikowanych geometrycznie struktur w narzędziu inżynierskim midas MeshFree, jako alternatywa do klasycznej metody MES.
Ponieważ FCM działa na prostej siatce kartezjańskiej, geometria jest dzielona na dwa podstawowe typy obszarów. Jest to związane z faktem, iż metoda FCM stosuje schemat całkowania adaptacyjnego obszaru objętego analizą, który hierarchicznie rozkłada komórki na pod-komórki, w zależności od miejsca ich ulokowania w przestrzeni domeny.
Z punktu widzenia matematyki, wykorzystuje ona zasadę analizy przynależności geometrii obiektu i jego granicy do obszaru znajdującego się poza lub wewnątrz komórki. Elementy siatki kartezjańskiej można podzielić na elementy siatki wewnętrznej i granicznej. Graniczne elementy siatki można dalej podzielić na te, w których zastosowano warunki brzegowe Dirichleta i te, bez warunków brzegowych, opisane warunkiem brzegowym Neumanna. Zasadę tę obrazuje rysunek 4.
Rys. 4 Przestrzeń domeny obliczeniowej oparta o siatkę kartezjańską w metodzie FCM
Meshfree – czyli wolny od kroku dyskretyzacji
Kluczem zrozumienia działania programów opartych o technologię FCM jest zdanie sobie sprawy, iż są to metody wolne od kroku dyskretyzacji, ale nie pozbawione samej metody numerycznej opartej na definicji siatki. Kolejną rzeczą, jaką należy sobie uświadomić, jest to, że w omawianej metodzie siatka lub siatki nie są i nie muszą być zgodne z geometrią analizowanego obiektu, gdyż dziedzina obliczeń jest, potoczenie mówiąc, „zanurzona” w kartezjańskich siatkach (Rys. 5 i 6).
Rys. 5 Siatka kartezjańska dla pojedynczego obiektu
Rys. 6 Złożenie za nałożonymi siatkami kartezjańskimi dla każdego z obiektów niezależnie
Rozmiar siatki może być kontrolowany niezależnie dla poszczególnych części CAD. Podobne pojęcia można znaleźć w analizach dynamiki płynów, gdzie obiekt jest zanurzony w obszarze objętym analizą3.
W przypadku midas MeshFree siatki są generowane automatycznie przez solver bez ingerencji użytkownika. Również dla złożeń, generowane niezależnie dla każdego z elementów. W przeciwieństwie do automatycznego generowania siatki w MES, które często zawodzą bez uproszczeń geometrii i idealizacji, wskaźnik sukcesu w przypadku MeshFree, wynosi niemalże sto procent.
Jest wielce prawdopodobne, że programy do obliczeń numerycznych metodami bezsiatkowymi otwierają nową epokę symulacji numerycznych, w których proces idealizacji i pre-processingu przestanie być kwintesencją procesu obliczeniowego.
Efektywność pracy
Efektywność pracy jest największym atrybutem nowej koncepcji programów bezsiatkowych, a może inaczej mówiąc, wolnych od kroku dyskretyzacji. Po kilku dniach pracy z narzędziem midas MeshFree na obiektach mających geometrię o wysokim stopniu skomplikowania dostrzeżemy, iż geometria nie ma dla nas już tak istotnego znaczenia, czas włączenia analizy jest liczony w minutach lub godzinach, a nie jak wcześniej bywało w dniach lub tygodniach. Użytkownicy będą musieli przywyknąć do faktu, iż analizuje się już tylko geometrię i pracuje się na geometrii, na której należy przewidzieć miejsca interakcji, przyłożenia sił i warunków brzegowych. Same obliczenia w metodach meshfree realizowane są wolniej niż w symulacje wykonywane za pomocą MES. Jednakże producenci MeshFree by zaradzić temu problemowi umożliwili użytkownikom wykonywanie obliczeń na wielu CPU lub GPU bez dodatkowych kosztów.
Metoda meshfree wyznacza kierunek, w którym program jest jedynie narzędziem w rękach inżyniera mającym pomóc mu przeanalizować i ocenić zjawisko fizyczne. Aktualnie, jeszcze nie wszystkie zagadnienia można analizować z wykorzystaniem tej metody – listę typów analiz numerycznych możliwych do przeanalizowanie z wykorzystaniem MeshFree przedstawia tabela 1 – jednak siła tej technologii rekompensuje ten fakt.
Tab. 1 Typ analiz możliwych do wykonania z wykorzystaniem Finite Cell Method w MeshFree
Meshfree, czyli wolny od kroku dyskretyzacji
Metody bezsiatkowe są przełomowym narzędziem dla inżynierów zajmujących się symulacjami i projektowaniem CAD wszystkich branż. Być może w ciągu najbliższych lat metody te, wspomagane przez algorytmy sztucznej inteligencji, będą stanowić podstawowe narzędzie inżynierskie, wypierając tym samym klasyczne metody MES… Tego nie da się przewidzieć. Niemniej jednak, stawiają one wysoko poprzeczkę klasycznym metodom obliczeniowym i producentom oprogramowania inżynierskiego.
Piotr Harnartkiewicz
CAE Consultant & Marketing Manager, CEO, KOMES, Polska
Bartosz Ojdana
Marketing Engineer, KOMES, Polska
Piotr Stępień
CAE Consultant & Marketing Manager in Mechanical engineering, MIDAS IT, Korea
1 https://www.l5.pk.edu.pl/~slawek/KURS%20SZKOMES%20-%20PROGRAMY/SMilewski_SZKOMES2011.pdf
2 A. Duster, J. Parvizian, Z. Yang, E. Rank: The finite cell method for three-dimensional problems of solid mechanics, Vol. 197, Issues 45-48, 2008
3 R. Mittal, G. Iaccarino: Immersed boundary methods, Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 37, 2005
artykuł pochodzi z wydania 12 (135) grudzień 2018
