16 października 2021


Rys5_Mody_sNajbardziej interesująca jest oczywiście pierwsza postać wyboczenia oraz odpowiadająca jej wartość własna. Siła, jaką obciążony został pręt, była jednostkowa, więc wartość własna powinna być w tym przypadku równa sile krytycznej. I rzeczywiście – podstawiając dane do wzoru Eulera na siłę krytyczną otrzyma się wartość Pkryt=20726 N. Porównując ją z siłą krytyczną uzyskaną z obliczeń MES PMES=20768 N otrzymujemy różnicę rzędu 0,2%. Jest to bardzo dobra zbieżność analizy MES z wynikami obliczeń analitycznych.
Analiza numeryczna MES wyboczenia pręta została wykonana i pomyślnie przeszła weryfikację z obliczeniami analitycznymi. Przyszła więc pora na przeprowadzenie analizy statycznej konstrukcji z wykorzystaniem wyników poprzedniej analizy. Ten sam model, który był użyty do przeprowadzenia analizy wyboczeniowej zostanie teraz wykorzystany w analizie postbuckling. Rys6_sciskanie_sOkreślenie ‘ten sam model’ nie jest przypadkowe. Musi zostać użyta ta sama numeracja węzłów, jak w przypadku analizy wyboczeniowej, ponieważ na modelu ma zostać wykonany pewien zabieg. Otóż, do nowo tworzonej analizy typu np. Static General dodane zostaną wyniki analizy wyboczeniowej. Stanie się tak poprzez zastosowanie komendy *IMPERFECTION, która pozwoli zaburzyć idealną geometrię pręta przemieszczeniami węzłów obliczonymi w analizie buckle. Odbędzie się to poprzez dodanie obliczonych przemieszczeń do położeń węzłów konstrukcji nie zaburzonej. Wyniki symulacji ściskania siłą osiową 10 kN takiego „zaburzonego” pręta przedstawione są na rysunku 6a. Dla porównania na rysunku 6b pokazano wyniki symulacji tego samego pręta, bez zastosowania komendy *IMPERFECTION. W przypadku gdy geometria pręta nie została zaburzona mamy do czynienia z czystym ściskaniem. Brak jest strzałki ugięcia, jedyne przemieszczenia w kierunku X to małe deformacje pręta na skutek spęczenia materiału, w wyniku zmniejszenia jego długości. Wyniki analizy postbuckling wyraźnie pokazują wystąpienie pewnej niewielkiej krzywizny pręta na skutek działania siły ściskającej (skala rysunku została zdeformowana aby mocniej uwidocznić łuk).
Należy podkreślić, że przyłożona siła nie przekroczyła wartości krytycznej. Ugięcie pręta jest na tyle małe, że nie powoduje nagłej utraty stateczności. Aby nastąpiło dalsze przemieszczenie pręta siła musi wzrosnąć. Co się stanie jeżeli przyłożona zostanie siła ściskająca o wartości przekraczającej siłę krytyczną? Rys7_sila-przemiesz_sWykres na rysunku 7 przedstawia zależność siła – przemieszczenie pionowe punktu przyłożenia siły. Wyniki uzyskano dla analizy typu Static, General. Uzyskanie większych przemieszczeń w trakcie tej analizy nie było możliwe ponieważ została osiągnięta wartość siły krytycznej. Z wykresu można odczytać, że sztywność układu obciążonego siłą zbliżoną do wartości krytycznej dąży do zera (prawa część krzywej jest pozioma). Stanowi to problem dla klasycznego solwera w analizie statycznej, ponieważ nawet niewielki przyrost siły będzie generował nieskończenie wielki przyrost przemieszczenia. Dzieje się tak, gdyż – w bardzo dużym uproszczeniu – MES szuka rozwiązania równania F = K∙u gdzie F to siły, u przemieszczenia, a K macierz sztywności układu. Jeżeli zadane są siły, wtedy aby wyznaczyć przemieszczenia należy podzielić siłę przez sztywność. Jeżeli sztywność dąży do zera (co widać na rysunku 7), wtedy przemieszczenia dążą do nieskończoności.
Jednym ze sposobów radzenia sobie z tego rodzaju problemem jest zastosowanie innego rodzaju wymuszenia w analizie. Zamiast przykładać siłę skupioną można wymusić przemieszczenie pionowe. Wtedy niewiadome będą po lewej stronie równania i zbieżność będzie możliwa do osiągnięcia. Metoda ta jest skuteczna jedynie wtedy, kiedy znamy kierunek i sposób przemieszczania się punktu, którego przemieszczenie wymuszamy. W przypadku omawianego pręta nie stanowi to większego problemu. Trudność sprawi bardziej skomplikowana konstrukcja, której zachowanie się nie jest tak oczywiste.
Innym, bardziej eleganckim, sposobem jest zastosowanie analizy typu Static, Riks. Pozwala ona na ‘przejście’ przez punkt bifurkacji i symulację zachowania konstrukcji, po utracie stateczności. Metoda ta znajduje punkt równowagi na końcu każdego kroku. Umożliwia ona nie tylko zwiększenie (jak w klasycznej metodzie iteracyjnej), ale również zmniejszenie wartości siły tak, aby spełnić warunek równowagi statycznej. Tak więc niewiadomą jest tutaj nie tylko przemieszczenie, ale również w pewnym sensie siła.