W programie obróbki, wykonywanym na wieloosiowej obrabiarce CNC, wyposażonej w układ sterowania Heidenhain (np. iTNC 530 lub nowszy), nachylenie płaszczyzny obróbki (czyli zdefiniowanie układu współrzędnych płaszczyzny obróbki WPL-CS) można uzyskać za pomocą omówionych w poprzednich artykułach funkcji PLANE SPATIAL, PLANE RELATIV i PLANE PROJECTED, ale i również za pomocą innych PLANE-funkcji: PLANE EULER, PLANE VECTOR, PLANE POINTS i PLANE AXIAL, jak i także poprzez zastosowanie cyklu 19 PŁASZCZYZNA ROBOCZA [1-3].
Kazimierz Czechowski
Kąty Eulera i nachylenie płaszczyzny obróbki
Kątami Eulera, zdefiniowanymi w XVIII wieku przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, nazywany jest układ trzech kątów, który jednoznacznie określa wzajemną orientację dwóch kartezjańskich (prostokątnych) układów współrzędnych o jednakowej skrętności i tym samym początku (punkcie zerowym). Wychodząc od wyjściowego układu współrzędnych prostokątnych (o osiach X, Y, Z), przez złożenie trzech obrotów w kolejności wokół osi Z, X, Z – o kąty Eulera: precesji Ψ (psi), nutacji Θ (theta) i rotacji Φ (phi) – można zdefiniować inny układ współrzędnych prostokątnych dowolnie nachylony względem wyjściowego układu współrzędnych (przy czym drugi i trzeci obrót jest wykonywany wokół osi X i Z już nachylonych po wcześniejszych obrotach). Ma to przykładowo zastosowanie do opisania orientacji ciała sztywnego (obiektu, bryły) związanego z obracanym układem współrzędnych, względem ustalonego stałego układu współrzędnych (np. w mechanice, lotnictwie, astronomii), do opisania orientacji kryształów (krystalitów) w materiałoznawstwie, czy też do nachylania płaszczyzny obróbki podczas sterowania procesem na obrabiarce CNC. Ponieważ można spotkać się z ogólnym nazewnictwem kątami Eulera zestawu trzech kątów, które opisują orientację ciała sztywnego w przestrzeni trójwymiarowej, to trzeba uściślić, że Euler dla opisu zmiany orientacji w przestrzeni wykorzystał dwukrotnie obrót wokół tej samej osi. Kąty Eulera uzyskiwane poprzez składanie trzech obrotów kolejno wokół osi Z–X–Z lub Z–Y–Z (a możliwe są także warianty o obrotach kolejno wokół osi: X–Y–X, X–Z–X, Y–X–Y lub Y–Z–Y) – nazywane są właściwymi lub klasycznymi kątami Eulera. Jako przynależące do grupy kątów Eulera nazywane są nierzadko również kąty Taita-Bryana wynikające ze zmiany orientacji (której opis podali Peter G. Tait i George H. Bryan) polegającej na wykorzystaniu jednorazowych obrotów wokół wszystkich osi układu współrzędnych (np. obrotów kolejno wokół osi: X–Y–Z, X–Z–Y, Y–Z–X, Y–X–Z, Z–X–Y lub Z–Y–X). Kąty Taita-Bryana nazywane są także kątami Cardana, kątami morskimi lub kątami „Yaw, Pitch and Roll” (czyli w tłumaczeniu niedosłownym, np. „Odchylenie, Pochylenie, Przechylenie”) [4–7].
Złożenie trzech obrotów wokół osi układu współrzędnych prostokątnych pozwala zdefiniować docelowy układ współrzędnych prostokątnych dowolnie nachylony względem wyjściowego układ współrzędnych, przy czym trzy obroty mogą być zewnętrzne tzn. wokół nieruchomych osi wyjściowego układu współrzędnych, albo wewnętrzne, tzn. wokół osi obracanego układu współrzędnych, zmieniającego po każdym elementarnym obrocie orientację względem wyjściowego układu współrzędnych. Definiując kąty Eulera za pomocą obrotów wewnętrznych, wychodząc od początkowej orientacji obracanego układu współrzędnych (np. związanego z obracanym ciałem sztywnym), zgodnej z orientacją wyjściowego nieruchomego układu współrzędnych XYZ, otrzymujemy po kolejnych obrotach kolejne obrócone układy współrzędnych: po pierwszym obrocie X1Y1Z1 (Rys. 1), po drugim obrocie X2Y2Z2 (Rys. 2) i jako ostateczny układ współrzędnych po złożeniu trzech obrotów X3Y3Z3 (Rys. 3) [4-7].
Cały artykuł dostępny jest w wydaniu płatnym 3/4 (198/199) Marzec/kwiecień 2024
