Równanie krzywej i jej definicja w systemie CAD(2)

: Opublikowano: 03 kwietnia 2011

Strona 2 z 2

Z tego powodu, ale także dlatego, że projektowana krzywka jest symetryczna można zdefiniować krzywą pomocniczą Split.1 (Rys.4), która będzie wskazana jako Curve w definicji krzywej typu Parallel Curve.

Rys4
Rys. 4

Tu warto zatrzymać się na chwilę i zastanowić się nad tym, jak działa algorytm polecenia Parallel Curve. Położenie każdego punktu na dowolnej krzywej jest określone przez wewnętrzny parametr typu rzeczywistego (na przykład x), którego wartość zmienia się od 0 w punkcie początkowym do 1 w punkcie końcowym tej krzywej. Dla każdego punktu krzywej system znajduje kierunek prostopadły do krzywej w tym punkcie i na tej linii określa położenie punktu krzywej typu Parallel Curve. Celowo nie używam określenia krzywa równoległa, bo jeśli stosujemy prawo zmienności, to gdzie tu jest „równo”? Na przykład (Rys.5) dla x = 0,7 mamy:
Punkt Point.3 jest dowolnym punktem krzywej Split.1 (x = Point.3\Ratio = 0,7),
Linia Line.2 jest prostopadła do krzywej Split.1 w punkcie Point.3,
Punkt Point.4 leży na linii Line.2 w odległości
R ∙ (1 + x ∙ π) od punktu BaseCircleCenter (patrz równanie spirali Archimedesa dla A = 1 i β = x ∙ π) oraz w odległości R ∙ x ∙ π od punktu Point.3 (czyli krzywej Split.1).
Po tych wyjaśnieniach definicja prawa zmienności Law-Archimedes (Rys.6) jest chyba oczywista. Zamiast parametru x (typu Real) można zastosować parametr BETA (typu Angle) i wtedy prawo zmienności powinno być określone w następujący sposób:
Rx = R * BETA * PI/180deg
Rezultat zastosowania prawa Law-Archimedes, czyli krzywa Parallel.1 (Rys.7) jest poszukiwanym fragmentem spirali Archimedesa. Oczywiście w praktycznych zastosowaniach wartość parametru powinna być tak dobrana, aby uzyskać zakładany skok konstrukcyjny krzywki (tu dla A = 1 mamy Skok = R ∙ π).
Taka metoda może być zastosowana w definicji różnego typu krzywych, ale dla spirali Archimedesa nie jest to metoda najprostsza. Wystarczy zauważyć, że ogólne równanie spirali Archimedesa jest funkcją liniową, a to oznacza, że w definicji krzywej typu Parallel Curve zamiast Law type = Advanced można wybrać Law type = Linear i zadać odpowiednie wartości Start value i End value (Rys.8).

Rys8
Rys. 8

Aby temat zakończyć trzeba jeszcze wykonać symetryczną kopię krzywej Parallel.1, zdefiniować łagodne przejścia dla wierzchołków takiego zarysu krzywki (Corner.1 na Rys.9), itd. Zadanie powinno być na tyle trywialne, że nie wymaga szczegółowego komentarza.
Czy taka metoda konstrukcji krzywej jest uniwersalna? Na przykład czy można ją zastosować w definicji ewolwenty koła (Rys.10)? Niestety metoda Parallel Curve + Law w definicji ewolwenty musi być nieco zmodyfikowana, bo konieczne jest zastosowanie dwóch praw zmienności (dla parametrów X i Y). Szczegóły w następnym odcinku.

Andrzej Wełyczko